Response of Linear Plant/Nonlinear Instrumentation Systems with respect to Stochastic Inputs

Abstract

제어 시스템은 일반적으로 비선형 액추에이터 및 센서와 같은 비선형 계측기를 가집니다. 여기서, 비선형은 포화, 데드존, 릴레이, 히스테리시스 등의 다양한 형태로 표현합니다. 제어 시스템이 원하는 작동 지점에 가깝게 작동하면, 플랜트는 국부적으로 선형으로 볼 수 있습니다. 플랜트는 국부적으로 선형일지라도 기준 신호 (Reference) 또는 외란 (Disturbance)에 따라 계측기의 비선형 특성이 활성화 됩니다. 우리는 이러한 특성을 보이는 시스템을 LPNI (Linear Plant / Nonlinear Instrumentation)라고 정의합니다. LPNI 시스템의 제어 성능은 랜덤 신호 (Stochastic signals)에 의해 영향을 받는데, 이 러한 신호는 기준 신호 (Reference), 외란 (Disturbance), 또는 센서 잡음 (Noise)의 형태로 LPNI 시스템의 제어 성능에 영향을 미칩니다.

이러한 LPNI 시스템에서 센서 잡음으로 인해 예상치 못한 응답이 야기될 수 있다는 것을 발견하였습니다. 구체적으로, 평균이 0인 가우스 분포 잡음이 액추에이터 또는 센서 포화가 있는 피드백 시스템에서 추적 오류(편차)를 유발합니다. 즉, 시스템 출력의 평균은 기준 신호를 제대로 따라가지 못하는 현상을 보여줍니다. 우리는 이 현상을 Noise-induced tracking error (NITE)라고 명명합니다. 이러한 현상은 비선형 계측기 (Nonlinear instrumentation)를 고려하지 않은 선형 시스템에서는 발생하지 않는 현상입니다. 또한, 이런 현상은 LPNI 시스템에서 센서 잡음이 없을 경우에는 발생하지 않고, 센서 잡음이 있다해도 조건에 따라 발생하지 않기도 합니다.

따라서, 비선형 계측기를 가진 시스템 즉, LPNI 시스템에서 이러한 현상이 발생하는 원인 분석 및 해결 방안 등에 대한 연구가 필요합니다. 랜덤 신호 (Stochastic signals)에 의해 영향을 받는 LPNI 시스템의 제어 성능 분석 및 향상을 위해 두 가지 방법을 사용합니다. 하나는 확률적 평균 방법 (Stochastic averaging approach), 다른 하나는 확률적 선형화 방법 (Stochastic linearization approach)입니다. 두 기법을 활용함으로써, NITE현상과 관련하여 아래와 같은 문제를 다룹니다. (i) NITE 현상은 특정 안티 와인드업 (Anti-windup) 구조와 액추에이터 포화를 가진 PI 제어 시스템에서 처음 발견되었습니다. 우리는 이러한 현상이 다른 여러 Anti-windup 구조를 가진 PI 제어 시스템에서도 나타나는 것을 보여줍니다. 또한, 이러한 구조에서의 NITE 현상을 정량화하여 NITE가 발생하는 원인을 분석합니다. 분석 결과는 시스템의 Parameters 및 외부 신호가 NITE 발생에 미치는 영향을 보여주므로, Anti-windup을 가진 PI 제어시스템의 제어기를 설계할 때에 도움을 줍니다. (ii) 시스템의 Parameters 및 외부 신호와 관계없이 NITE를 방지하기 위한 해결 방안이 존재합니다. 하지만, 이러한 방법은 몇 가지 단점을 가집니다. 따라서, 우리는 기존의 단점을 극복하면서 NITE를 방지하기 위한 해결 방안을 제안합니다. (iii) 우리가 제안한 NITE 제거 방법을 검증합니다. 해결 방안의 이론적 결과는 확률적 평균 방법 (Stochastic averaging approach) 을 통해 보여줍니다. 또한, 실제 CPU 열 제어 시스템을 사용하여 우리가 제안한 방법을 검증합니다. 특히, 본 방법에서 복잡한 모델의 경우, 시스템의 입출력데이터를 기반으로 시스템의 Behavior 특성을 묘사하는 방법을 통해 해결가능합니다. (iv) 우리는 액추에이터 포화를 가진 제어시스템 뿐만 아니라 센서 포화를 가진 PI 제어 시스템에서도 NITE가 발생할 수 있음을 보여줍니다. 따라서, 이러한 시스템에서의 NITE 분석 및 해결 방안을 제안합니다. (v) 기존의 연구들은 확률적 평균 방법 (Stochastic averaging approach)을 통해 NITE를 분석하였습니다. 하지만 확률적 평균 방법은 노이즈의 대역폭이 충분히 크다는 가정하에만 유효한 분석을 보여줍니다. 즉, 저대역폭에서의 NITE의 발생 및 해결방안에 대한 분석은 주어지지 않습니다. 우리는 확률적 선형화 방법 (Stochastic linearization approach)를 도입하여 저대역폭에서의 NITE 분석 및 해결 방안을 제안합니다. 또한 확률적 평균 방법을 통한 NITE 분석의 유효한 대역폭의 크기가 어느정도인지를 확률적 선형화 방법을 통해 정의할 수 있음을 보여줍니다. |In general, control systems contain nonlinear instrumentation such as nonlinear actuators and sensors. The nonlinearity takes various forms including saturation, dead-zone, relay, hysteresis, etc. Unlike the actuator and sensor, the plant can be viewed as locally linear if the control system operates close to a desired operating point. Although the plant is locally linear, nonlinearities in the instrumentation may be activated in order to track large references or reject large disturbances, resulting in nonlinear behavior. This gives rise to a class of systems referred to as Linear Plant/Nonlinear Instrumentation (LPNI).

It is in the LPNI systems that sensor noise induces unexpected responses. In particular, zero-mean Gaussian measurement noise induces a bias in the tracking error in feedback systems with actuator saturation and systems with sensor saturation. In other words, the mean of the system output exhibits an unexpected bias from the reference signal to be tracked. This phenomenon is referred to as the Noise Induced Tracking Error (NITE). Nonlinearities in the system dynamics are essential for this phenomenon to occur, since zero-mean measurement noise would result in zero-mean fluctuations (no bias) of the other signals if the dynamics were linear.

For this, specific problems addressed in this dissertation with regards to NITE are as follows: (i) Tracking loss due to zero mean measurement noise has been discovered in PI controlled systems with anti-windup. For this system, we give analyses of noise-induced tracking error with general types of anti-windup. Specifically, several anti-windup structures introduced in representative work are considered with PI controlled systems, and NITE for all systems are quantified in terms of system parameters and noise characteristics. (ii) Several methods of avoiding noise-induced tracking error (NITE) are proposed for overcoming the limitations of the existing solution for NITE. (iii) To show the efficacy of our proposed method for eliminating NITE, theoretical results are obtained by a stochastic averaging approach, and experimental results are presented along with simulations by using CPU Thermal Control Systems. (iv) Analysis and mitigation of NITE for the systems with sensor saturation are studied by using stochastic averaging method. (v) Stochastic averaging method has not quantified the severity of NITE for low bandwidth cases, and in addition, no generic solution to alleviate NITE has been provided. For filling this gap, a different analysis tool, namely stochastic linearization, is introduced and used in order to accomplish this.